Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen/Euler-Streckenzug-Verfahren - Versionsgeschichte

Mechaniker am 22. Februar 2021 um 12:14 Uhr

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	den wir nach ''q(t+Δt)'' auflösen.		den wir nach ''q(t+Δt)'' auflösen.

	So sehen die ersten beiden Schritte für das Einführungs-Beispiel so aus:		So sehen die ersten beiden Schritte für das Einführungs-[[Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen\|Beispiel]] so aus:
	[[Datei:Euler-Verfahren-Integrationschritt.png\|ohne\|mini\|Analytische und numerische Näherungslösung]]		[[Datei:Euler-Verfahren-Integrationschritt.png\|ohne\|mini\|Analytische und numerische Näherungslösung]]
	Jeder dieser Schritte ist für sich trivial, erfordert aber die Durchführung von sehr vielen Rechenoperationen. Mit den ersten Computern hat dieses Verfahren deshalb seine große Bedeutung bekommen.		Jeder dieser Schritte ist für sich trivial, erfordert aber die Durchführung von sehr vielen Rechenoperationen. Mit den ersten Computern hat dieses Verfahren deshalb seine große Bedeutung bekommen.

Mechaniker am 22. Februar 2021 um 12:12 Uhr

2021-02-22T12:12:44Z

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	x		Beim Euler-Streckenzug- oder Euler-Einschritt-Verfahren wiederholt man für die numerische Lösung des Anfangswertproblems

			::<math>\underline{\dot{q}}(t) = \underline{f}(\underline{q}(t),t)</math>

			konsequent den Schritt

			::<math>\underline{q}_{i+1} = \underline{q}_i + \underline{\dot{q}}\|_{t=t_i}\cdot\Delta t \text{ mit } \underline{\dot{q}}\|_{t=t_i} = \underline{f}(\underline{q}_i,t_i)</math>

			In dieser Gleichung steckt der Differenzenquotient

			::<math>\displaystyle \dot{q}_{t_i} \approx \frac{q(t_i+\Delta t) - q(t_i)}{\Delta t}</math>

			den wir nach ''q(t+Δt)'' auflösen.

			So sehen die ersten beiden Schritte für das Einführungs-Beispiel so aus:
			[[Datei:Euler-Verfahren-Integrationschritt.png\|ohne\|mini\|Analytische und numerische Näherungslösung]]
			Jeder dieser Schritte ist für sich trivial, erfordert aber die Durchführung von sehr vielen Rechenoperationen. Mit den ersten Computern hat dieses Verfahren deshalb seine große Bedeutung bekommen.


			Die Umsetzung dieses Verfahrens ist konzeptionell wichtig, weil es das Vorgehen zur numerischen Lösung von Anfangswerten verdeutlicht. Für die praktische Umsetzung ist es in dieser Form nicht empfehlenswert, da es ungenau und numerisch ineffizient ist.

			Allerdings gehen alle praktikablen Lösungsverfahren aus die Grundidee dieses Verfahrens zurück:

			* addiere sukzessive kleine Inkremente zu der Zustandsgrößen des Ausgangs-Zustands, indem die Werte der Ableitungen (Rechte Seite der Gleichung) mit kleinen Zeitschritten hinzugefügt werden.

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2021-02-16T16:20:32Z

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