Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen - Versionsgeschichte

Mechaniker am 30. November 2024 um 12:11 Uhr

2024-11-30T12:11:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2024, 12:11 Uhr
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	::<math>\displaystyle q(t) \text{ und der Abkürzung } \frac{d}{dt}(.):=\dot{(.)}</math>		::<math>\displaystyle q(t) \text{ und der Abkürzung } \frac{d}{dt}(.):=\dot{(.)}</math>

	suchen wir die Lösung zum Anfangswertproblem<math>\dot{q} = f(q,t) \text{ mit dem Anfangswert } q(0) = q_0</math>		suchen wir die Lösung zum Anfangswertproblem <math>\dot{q} = f(q,t) \text{ mit dem Anfangswert } q(0) = q_0</math>

	im Zeitintervall 0 ''< t < T''.		im Zeitintervall 0 ''< t < T''.

Mechaniker am 27. November 2023 um 19:36 Uhr

2023-11-27T19:36:57Z

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	'''Links'''		'''Links'''
	* [[Sources/Lexikon/Phasendiagramme\|Phasendiagramme]]: eine Methode zum Ausdeuten der Lösung von ~~nunmerisch~~ gelösten AWP.		* [[Sources/Lexikon/Phasendiagramme\|Phasendiagramme]]: eine Methode zum Ausdeuten der Lösung von numerisch gelösten AWP.

Mechaniker am 17. Mai 2022 um 13:40 Uhr

2022-05-17T13:40:04Z

@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 </syntaxhighlight>
 }}
 Klimamodelle machen genau das - nur mit deutlich komplizierteren Modellen.

Mechaniker am 17. Mai 2022 um 13:15 Uhr

2022-05-17T13:15:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Mai 2022, 13:15 Uhr
Zeile 79:		Zeile 79:
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="notmuch" line='line' style="border:1px solid blue">		<syntaxhighlight lang="notmuch" line='line' style="border:1px solid blue">
			/* wxMaxima 21.05.2 */
	/* equations of motion */		/* equations of motion */
	eom: ['diff(n,~~tau~~)=((1-r)-~~%lambda~~[S])*n,		eom: ['diff(n,τ)=((1-r)-λ[S])*n,
	'diff(r,~~tau~~)= mun- ~~rho~~r];		'diff(r,τ)= μn- ρr];

	/* parameter */		/* parameter */
	par: [~~%lambda~~[S]=0.5, ~~rho~~=1/10, mu=1/100];		par: [λ[S]=0.5, ρ=1/10, μ=1/100];

	/* solve IVP */		/* solve IVP */
	results: rk(subst(par,makelist(rhs(eom[i]),i,1,2)),[n,r],[1,0],[~~tau~~,0,50,0.1])$		results: rk(subst(par,makelist(rhs(eom[i]),i,1,2)),[n,r],[1,0],[τ,0,50,0.1])$
	results: [~~tau~~ = makelist(results[i][1],i,1,length(results)),		results: [τ = makelist(results[i][1],i,1,length(results)),
	n = makelist(results[i][2],i,1,length(results)),		n = makelist(results[i][2],i,1,length(results)),
	r = makelist(results[i][3],i,1,length(results))]$		r = makelist(results[i][3],i,1,length(results))]$
	/* plot results */		/* plot results */
	plot2d([[discrete,subst(results,~~tau~~),subst(results,n)],		plot2d([[discrete,subst(results,τ),subst(results,n)],
	[discrete,subst(results,~~tau~~),subst(results,r)]],		[discrete,subst(results,τ),subst(results,r)]],
	[legend, "# Pop.", "Rückst."],		[legend, "# Pop.", "Rückst."],
	[xlabel, "τ→"],[ylabel, "n,r→"],		[xlabel, "τ→"],[ylabel, "n,r→"],

Mechaniker am 22. Februar 2021 um 11:29 Uhr

2021-02-22T11:29:33Z

Mechaniker: /* Beispiel 2: Wachstum einer Population mit Selbstvergiftung */

2021-02-22T11:27:18Z

Beispiel 2: Wachstum einer Population mit Selbstvergiftung

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2021, 11:27 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:
	Und analog für <sub>r</sub>.		Und analog für <sub>r</sub>.

	[[Datei:MethodenAnfangswertprobleme-Euler.png\|ohne\|mini\|Integrationsschritt beim Lösen eines AWPs.]]		[[Datei:MethodenAnfangswertprobleme-Euler.png\|150px\|ohne\|mini\|Integrationsschritt beim Lösen eines AWPs.]]

	o berechnen wir aus dem Anfangspunkt den Zustand des Systems zu einem Folgepunkt, den Zeitpunkt ''t<sub>1</sub>''. Und für ''t<sub>1</sub>'' den Folgepunkt ''t<sub>2</sub>'. Wenn wir diese Schritte oft genug machen, erhalten wir den approximierten Verlauf der Zustandsgrößen über der Zeit. Im Maxima-Modell machen wir das mit der dimensionslosen Zeit:		o berechnen wir aus dem Anfangspunkt den Zustand des Systems zu einem Folgepunkt, den Zeitpunkt ''t<sub>1</sub>''. Und für ''t<sub>1</sub>'' den Folgepunkt ''t<sub>2</sub>'. Wenn wir diese Schritte oft genug machen, erhalten wir den approximierten Verlauf der Zustandsgrößen über der Zeit. Im Maxima-Modell machen wir das mit der dimensionslosen Zeit:

Mechaniker am 22. Februar 2021 um 11:26 Uhr

2021-02-22T11:26:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2021, 11:26 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:

	== Beispiel 2: Wachstum einer Population mit Selbstvergiftung ==		== Beispiel 2: Wachstum einer Population mit Selbstvergiftung ==


	Für sehr viele Fliegen ''n'' führen dies zu "Wachstum mit Selbstvergiftung". Die Stoffwechselrückstände ''r'' der Population in einem abgeschlossenen System (z.B. Erde) führen zum Aufbau von Hemmstoffen, die negativ auf die Geburtenrate ''λ<sub>G</sub>'' wirken, hier mit dem Faktor ''(1-r)''.		Für sehr viele Fliegen ''n'' führen dies zu "Wachstum mit Selbstvergiftung". Die Stoffwechselrückstände ''r'' der Population in einem abgeschlossenen System (z.B. Erde) führen zum Aufbau von Hemmstoffen, die negativ auf die Geburtenrate ''λ<sub>G</sub>'' wirken, hier mit dem Faktor ''(1-r)''.
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	{{Template:MyCodeBlock		{{Template:MyCodeBlock
	\|title=		\|title=Implementierung in Maxima
	\|text=		\|text=
	Auch wenn es einfach aussieht: das IVP hat keine analytische Lösung mehr. Wir müssen es als Anfangswertproblem numerisch lösen. Und das geht so:		Auch wenn es einfach aussieht: das IVP hat keine analytische Lösung mehr. Wir müssen es als Anfangswertproblem numerisch lösen. Und das geht so:

	Zum Zeitpunkt t0 =0 wissen wir		Zum Zeitpunkt ''t<sub>0</sub> =0'' wissen wir

	::<math>\displaystyle \left(\begin{array}{c}n(0)\\r(0)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}n_0\\0\end{array}\right)</math>		::<math>\displaystyle \left(\begin{array}{c}n(0)\\r(0)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}n_0\\0\end{array}\right)</math>
Zeile 60:		Zeile 59:
	::<math>\displaystyle \left.\left(\begin{array}{c}\dot{n}\\\dot{r}\end{array}\right)\right\|_{t=0}= \left(\begin{array}{c}\lambda_G\cdot n_0\\\mu\cdot n_0\end{array}\right)</math>		::<math>\displaystyle \left.\left(\begin{array}{c}\dot{n}\\\dot{r}\end{array}\right)\right\|_{t=0}= \left(\begin{array}{c}\lambda_G\cdot n_0\\\mu\cdot n_0\end{array}\right)</math>

	Die Änderungsgeschwindigkeit der Zustandsgrößen des Modells (n,r) ist also für t=t0 bekannt. Nun ersetzten wir - wie beim Verfahren der Finiten Differenzen - den Differentialquotienten durch den Differenzenquotienten:		Die Änderungsgeschwindigkeit der Zustandsgrößen des Modells ''(n,r)'' ist also für ''t=t<sub>0</sub>'' bekannt. Nun ersetzten wir - wie beim Verfahren der Finiten Differenzen - den Differentialquotienten durch den Differenzenquotienten:

	::<math>n(\underbrace{t_0+\Delta t}_{\displaystyle :=t_1}) = n(t_0) + \dot{n}\|_{t=t_0}\cdot \Delta t</math>		::<math>n(\underbrace{t_0+\Delta t}_{\displaystyle :=t_1}) = n(t_0) + \dot{n}\|_{t=t_0}\cdot \Delta t</math>

	Und analog für r.		Und analog für <sub>r</sub>.

	[[Datei:MethodenAnfangswertprobleme-Euler.png\|ohne\|mini\|Integrationsschritt beim Lösen eines AWPs.]]		[[Datei:MethodenAnfangswertprobleme-Euler.png\|ohne\|mini\|Integrationsschritt beim Lösen eines AWPs.]]

			o berechnen wir aus dem Anfangspunkt den Zustand des Systems zu einem Folgepunkt, den Zeitpunkt ''t<sub>1</sub>''. Und für ''t<sub>1</sub>'' den Folgepunkt ''t<sub>2</sub>'. Wenn wir diese Schritte oft genug machen, erhalten wir den approximierten Verlauf der Zustandsgrößen über der Zeit. Im Maxima-Modell machen wir das mit der dimensionslosen Zeit:

			::<math>\displaystyle \tau=\lambda_G\cdot t</math>

			Für die gewählte Dauer von 50 Fliegen-Generationen erhalten wir:

	[[Datei:MethodenAnfangswertproblem-LösungFliegen.png\|mini\|Anzahl der Fliegen und Hemmstoffe über der Zeit.]]		[[Datei:MethodenAnfangswertproblem-LösungFliegen.png\|mini\|Anzahl der Fliegen und Hemmstoffe über der Zeit.]]

Mechaniker am 22. Februar 2021 um 11:22 Uhr

2021-02-22T11:22:55Z

@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 * proportional zu ''r'' abgebaut werden (zerfallen):<math>\begin{array}{ll}\dot{n} &= \left(\lambda_G\cdot(1-r)-\lambda_S\right) \cdot n\\ \dot{r} &= \mu \cdot n -\varrho\cdot r\end{array}\; \text{ mit den Anfangswerten } n(0) = n_0, r(0) = 0</math>
-Klimamodelle machen genau das - nur mit deutlich komplizierteren Modellen.
+::<math>\displaystyle \left.\left(\begin{array}{c}\dot{n}\\\dot{r}\end{array}\right)\right|_{t=0}= \left(\begin{array}{c}\lambda_G\cdot n_0\\\mu\cdot n_0\end{array}\right)</math>
 [[Datei:MethodenAnfangswertprobleme-Euler.png|ohne|mini|Integrationsschritt beim Lösen eines AWPs.]]
 [[Datei:MethodenAnfangswertproblem-LösungFliegen.png|mini|Anzahl der Fliegen und Hemmstoffe über der Zeit.]]

Mechaniker am 22. Februar 2021 um 11:18 Uhr

2021-02-22T11:18:48Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-tra
+== Problemstellung ==
 [[Datei:MethodenAnfangswertprobleme-Euler.png|ohne|mini|Integrationsschritt beim Lösen eines AWPs.]]
@@ Zeile 11: / Zeile 59: @@
 '''Links'''
-* [[Sources/Lexikon/Phasendiagramme|Phasendiagramme]]
+* [[Sources/Lexikon/Phasendiagramme|Phasendiagramme]]: eine Methode zum Ausdeuten der Lösung von nunmerisch gelösten AWP.

Mechaniker am 22. Februar 2021 um 11:14 Uhr

2021-02-22T11:14:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2021, 11:14 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	tra		tra





			[[Datei:MethodenAnfangswertprobleme-Euler.png\|ohne\|mini\|Integrationsschritt beim Lösen eines AWPs.]]
			[[Datei:MethodenAnfangswertproblem-LösungFliegen.png\|mini\|Anzahl der Fliegen und Hemmstoffe über der Zeit.]]



			'''Links'''
			* [[Sources/Lexikon/Phasendiagramme\|Phasendiagramme]]


			'''Untergeordnete Seiten'''

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← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2021, 11:29 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	Fast immer sind im Maschinenbau Anfangswertprobleme über Differentialgleichungen im Zeitbereich definiert - die unabhängige Koordinate ist deshalb hier immer ''t''. Für die gesuchte Funktion		Fast immer sind im Maschinenbau Anfangswertprobleme über Differentialgleichungen im Zeitbereich definiert - die unabhängige Koordinate ist deshalb hier immer ''t''. Für die gesuchte Funktion

	<math>\displaystyle q(t) \text{ und der Abkürzung } \frac{d}{dt}(.):=\dot{(.)}</math>		::<math>\displaystyle q(t) \text{ und der Abkürzung } \frac{d}{dt}(.):=\dot{(.)}</math>

	suchen wir die Lösung zum Anfangswertproblem<math>\dot{q} = f(q,t) \text{ mit dem Anfangswert } q(0) = q_0</math>		suchen wir die Lösung zum Anfangswertproblem<math>\dot{q} = f(q,t) \text{ mit dem Anfangswert } q(0) = q_0</math>
Zeile 10:		Zeile 10:
	Numerische Löser für Anfangswertprobleme gibt es meist nur für Differentialgleichungen erster Ordnung (erste Ableitung nach der Zeit). Da Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme fast immer Differentialgleichungen zweiter Ordnung sind (die Beschleunigung und damit die d'Alembert'sche Trägheitskrafte sind zweite Ableitungen des Weges nach der Zeit), brauchen wir einen Trick: Wir führen die Geschwindigkeit explizit als Koordinate ein, z.B. für die Bewegungsgleichung		Numerische Löser für Anfangswertprobleme gibt es meist nur für Differentialgleichungen erster Ordnung (erste Ableitung nach der Zeit). Da Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme fast immer Differentialgleichungen zweiter Ordnung sind (die Beschleunigung und damit die d'Alembert'sche Trägheitskrafte sind zweite Ableitungen des Weges nach der Zeit), brauchen wir einen Trick: Wir führen die Geschwindigkeit explizit als Koordinate ein, z.B. für die Bewegungsgleichung

	<math>\ddot{u}(t) = f(u,\dot{u},t)</math>		::<math>\ddot{u}(t) = f(u,\dot{u},t)</math>

	Nun sind		Nun sind

	<math>u, \dot{u}</math>		::<math>u, \dot{u}</math>

	die Zustandsgrößen des Systems.		die Zustandsgrößen des Systems.
Zeile 20:		Zeile 20:
	Mit		Mit

	<math>v(t) = \dot{u}(t)</math>		::<math>v(t) = \dot{u}(t)</math>

	schreiben wir die Differentialgleichung zweiter Ordnung als zwei Differentialgleichungen erster Ordnung:		schreiben wir die Differentialgleichung zweiter Ordnung als zwei Differentialgleichungen erster Ordnung:

	<math>\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dot{v}\\\dot{u}\end{array}\right)}_{\displaystyle \underline{\dot{q}}} = \underbrace{\left(\begin{array}{c}f(u, v, t)\\v\end{array}\right)}_{\displaystyle \underline{f}(\underline{q},t)}</math>		::<math>\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dot{v}\\\dot{u}\end{array}\right)}_{\displaystyle \underline{\dot{q}}} = \underbrace{\left(\begin{array}{c}f(u, v, t)\\v\end{array}\right)}_{\displaystyle \underline{f}(\underline{q},t)}</math>

	== Beispiel 1: Wachstum einer Population ==		== Beispiel 1: Wachstum einer Population ==
Zeile 31:		Zeile 31:
	In einem Zeitintervall stirbt ein Anteil ''λ<sub>S</sub>'' von Fliegen, ein Anteil ''λ<sub>G</sub>'' von Fliegen wird geboren, das Anfangswertproblem lautet:		In einem Zeitintervall stirbt ein Anteil ''λ<sub>S</sub>'' von Fliegen, ein Anteil ''λ<sub>G</sub>'' von Fliegen wird geboren, das Anfangswertproblem lautet:

	<math>\dot{n} = \underbrace{(\lambda_G-\lambda_S )}_{\displaystyle =: \lambda_0} \cdot n\; \text{ mit dem Anfangswert } n(0) = n_0</math>		::<math>\dot{n} = \underbrace{(\lambda_G-\lambda_S )}_{\displaystyle =: \lambda_0} \cdot n\; \text{ mit dem Anfangswert } n(0) = n_0</math>

	Die analytische Lösung dazu ist		Die analytische Lösung dazu ist

	<math>\displaystyle n(t) = n_0 \cdot e^{\lambda_0\cdot t}</math>		::<math>\displaystyle n(t) = n_0 \cdot e^{\lambda_0\cdot t}</math>

	== Beispiel 2: Wachstum einer Population mit Selbstvergiftung ==		== Beispiel 2: Wachstum einer Population mit Selbstvergiftung ==
Zeile 44:		Zeile 44:

	* proportional mit ''μ'' zur Anzahl der Fliegen ''n'' steigen und		* proportional mit ''μ'' zur Anzahl der Fliegen ''n'' steigen und
	* proportional zu ''r'' abgebaut werden (zerfallen):<math>\begin{array}{ll}\dot{n} &= \left(\lambda_G\cdot(1-r)-\lambda_S\right) \cdot n\\ \dot{r} &= \mu \cdot n -\varrho\cdot r\end{array}\; \text{ mit den Anfangswerten } n(0) = n_0, r(0) = 0</math>		* proportional zu ''r'' abgebaut werden (zerfallen):

			::<math>\begin{array}{ll}\dot{n} &= \left(\lambda_G\cdot(1-r)-\lambda_S\right) \cdot n\\ \dot{r} &= \mu \cdot n -\varrho\cdot r\end{array}\; \text{ mit den Anfangswerten } n(0) = n_0, r(0) = 0</math>

	{{Template:MyCodeBlock		{{Template:MyCodeBlock
Zeile 67:		Zeile 69:
	[[Datei:MethodenAnfangswertprobleme-Euler.png\|150px\|ohne\|mini\|Integrationsschritt beim Lösen eines AWPs.]]		[[Datei:MethodenAnfangswertprobleme-Euler.png\|150px\|ohne\|mini\|Integrationsschritt beim Lösen eines AWPs.]]

	o berechnen wir aus dem Anfangspunkt den Zustand des Systems zu einem Folgepunkt, den Zeitpunkt ''t<sub>1</sub>''. Und für ''t<sub>1</sub>'' den Folgepunkt ''t<sub>2</sub>'. Wenn wir diese Schritte oft genug machen, erhalten wir den approximierten Verlauf der Zustandsgrößen über der Zeit. Im Maxima-Modell machen wir das mit der dimensionslosen Zeit:		So berechnen wir aus dem Anfangspunkt den Zustand des Systems zu einem Folgepunkt, den Zeitpunkt ''t<sub>1</sub>''. Und für ''t<sub>1</sub>'' den Folgepunkt ''t<sub>2</sub>'. Wenn wir diese Schritte oft genug machen, erhalten wir den approximierten Verlauf der Zustandsgrößen über der Zeit. Im Maxima-Modell machen wir das mit der dimensionslosen Zeit:

	::<math>\displaystyle \tau=\lambda_G\cdot t</math>		::<math>\displaystyle \tau=\lambda_G\cdot t</math>