Quelltext der Seite Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken

[[Category:Numerische Lösung]]
[[Category:Prinzip der virtuellen Verrückungen]]
[[Category:Biege-Belastung]][[Category:Euler-Bernoulli-Balken]]
[[Category:Finite-Elemente-Methode‎]]
[[Category:Koordinaten‎]]
[[Category:Maxima‎]]

Diese Seite fasst die wichtigsten Ergebnisse für die FEM-Formulierung zum Euler-Bernoulli-Balken zusammen.

===Koordinaten===
Die Koordinaten eines Finiten Elements sind

::<math>\underline{Q}(t) = \left(\begin{array}{l}W_{i-1}(t)\\\Phi_{i-1}(t)\\W_{i}(t)\\\Phi_{i}(t)\end{array}\right)</math>.

Der Ansatz für die Näherung der Auslenkung ''w(x,t)'' ist

::<math>\displaystyle w(x,t) = \sum_{i=1}^4 Q_i(t) \cdot \phi_i(x)</math>

Die Drehwinkel sind hier so gewählt, dass 

::<math>\displaystyle \frac{d}{dx} w(x)|_{x=x_i} = \Phi_i</math>.

[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-01.png|mini|none|Nodal and independent Coordinates]]

===Trialfunctions===

Die einzelnen Trial-Functions sind:

<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
<tr><th>linker Rand (Knoten "''i-1''")</th><th>rechter Rand (Knoten "''i''")</th></tr>
<tr><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-02.png|mini|Trial-Function for ''W<sub>i-1</sub>'']]</td><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-04.png|mini|Trial-Function for ''W<sub>i</sub>'']]</td></tr>
<tr><th><math>\phi_1(\xi) = (\xi-1)^2 \cdot (2\;\xi+1)</math></th><th><math>\phi_3(\xi) = \xi^2 \cdot (3-2\;\xi)</math></th></tr>
<tr><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-03.png|mini|Trial-Function für ''Φ<sub>i-1</sub>'']]</td><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-05.png|mini|Trial-Function für ''Φ<sub>i</sub>'']]</td></tr>
<tr><th><math>\phi_2(\xi) = \ell_i \cdot \xi \cdot (\xi-1)^2</math></th><th><math>\phi_4(\xi) = \ell_i \cdot \xi^2 \cdot (\xi-1)</math></th></tr>
</table>

=== Faltungsintegrale ===
====... für die symmetrische Massenmatrix====
Tabelliert sind die Werte der Integrale

::<math>\displaystyle \frac{m_{ij}}{\varrho A} = \int_0^\ell \phi_i \cdot \phi_j \; dx</math>

<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
<tr><th>                 </th><th><math>\phi_1</math></th><th><math>\phi_2</math></th><th><math>\phi_3</math></th><th><math>\phi_4</math></th></tr>
<tr><th><math>\phi_1</math></th><td><math>\displaystyle \frac{13}{35}\;\ell_i </math></td><td><math>\displaystyle \frac{11}{210}\;\ell_i^2</math></td><td><math>\displaystyle \frac{9}{70}\;\ell_i</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{13}{420}\;\ell_i^2 </math></td></tr>
<tr><th><math>\phi_2</math></th><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{1}{105}\;\ell_i^3</math></td><td><math>\displaystyle \frac{13}{420}\;\ell_i^2 </math></td><td><math>\displaystyle -\frac{1}{140}\;\ell_i^4</math></td></tr>
<tr><th><math>\phi_3</math></th><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{13}{35}\;\ell_i </math></td><td><math>\displaystyle \frac{11}{210}\;\ell_i^2 </math></td></tr>
<tr><th><math>\phi_4</math></th><td>symm.</td><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{1}{105}\;\ell_i^3</math></td></tr>
</table>

====... für die symmetrische Steifigkeitsmatrix====
Tabelliert sind die Werte der Integrale
::<math>\displaystyle \frac{k_{ij}}{EI} = \int_0^\ell \phi_i'' \cdot \phi_j'' \; dx</math>

<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
<tr><th>                 </th><th><math>\phi''_1</math></th><th><math>\phi''_2</math></th><th><math>\phi''_3</math></th><th><math>\phi''_4</math></th></tr>
<tr><th><math>\phi''_1</math></th><td><math>\displaystyle \frac{12}{\ell_i^3}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{6}{\ell_i^2}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{12}{\ell_i^3}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{6}{\ell_i^2} </math></td></tr>
<tr><th><math>\phi''_2</math></th><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{4}{\ell_i}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{6}{\ell_i^2} </math></td><td><math>\displaystyle \frac{2}{\ell_i}</math></td></tr>
<tr><th><math>\phi''_3</math></th><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{12}{\ell_i^3}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{6}{\ell_i^2} </math></td></tr>
<tr><th><math>\phi''_4</math></th><td>symm.        </td><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{4}{\ell_i} </math></td></tr>
</table>

====... für die rechte Seite des Gleichungssystems - aus äußeren, einprägten Lasten wie z.B. Streckenlasten ''q<sub>0</sub>∙ψ''====

Die virutelle Arbeit dieser äußeren Streckenlast ist

::<math>\displaystyle \delta W^a = q_0 \int_0^\ell \psi(x)\cdot \delta w(x) \;\,dx</math>
                      
Hier stehen die Faltungsintegrale beispielhaft für 

::<math>\begin{array}{l}\psi_1 = 1\\\psi_2=1-\xi\\\psi_3=\xi\\\psi_4=4\cdot \left( \xi-{{\xi}^{2}}\right) \end{array}</math>

<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
<tr><th>Werte von <math>\displaystyle \int_0^1 \phi_i\cdot \psi_j  \; d\xi</math></th><th><math>\phi_1</math></th><th><math>\phi_2</math></th><th><math>\phi_3</math></th><th><math>\phi_4</math></th></tr>
<tr><th><math>\psi_1</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-1.png|rahmenlos|100x100px]] </th><td><math>\displaystyle \frac{1}{2}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{\ell_i}{12}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{1}{2}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{\ell_i}{12}</math></td></tr>
<tr><th><math>\psi_2</math> [[Datei:Anleitung-EBB-phi-2.png|rahmenlos|100x100px]] </th><td><math>\displaystyle \frac{7}{20}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{\ell_i}{20}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{3}{20}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{\ell_i}{30}</math></td></tr>
<tr><th><math>\psi_3</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-03.png|rahmenlos|100x100px]]</th><td><math>\displaystyle \frac{3}{20}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{\ell_i}{30}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{7}{20}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{\ell_i}{20}</math></td></tr>
<tr><th><math>\psi_4</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-04.png|rahmenlos|100x100px]]</th><td><math>\displaystyle \frac{1}{3}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{\ell_i}{15}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{1}{3}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{\ell_i}{15}</math></td></tr>
</table>

<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Maxima-Code für die Berechnung der Element-Matrizen
|text=
Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Element-Matrizen.
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/*Maxima Quellcode für die Erzeugung Inhalte dieser Seite */
/* Maxima version 16.04.2*/

declare( "ℓ", alphabetic);

/*Trial-Fucntions*/
phi : [       (xi-1)^2*(2*xi+1),
         ℓ[i]* xi     *(  xi-1)^2,
        -      xi^2   *(2*xi-3), 
         ℓ[i]* xi^2   *(  xi-1)];

/* depict independant and dependant coordinates */
preamble: "set yrange [] reverse";
plot2d(subst([ℓ[i]=1],[0.9,1/2,0.1,1/3].phi),[xi,0,1],
    [x,0,1], [legend, "w(x)"],
    [xlabel, "ξ →"], [ylabel, "← w"],
    [gnuplot_preamble, preamble]);

/* plot trial-functions parameters */
scale: [1,1/ℓ[i],1,1/ℓ[i]];
colours: [blue, red, green, magenta];
legends: ["ϕ1","ϕ2/ℓ[i]","ϕ3","ϕ4/ℓ[i]"];
for j:1 thru 4 do
     (plot2d(scale[j]*phi[j],[xi,0,1], [xlabel,"ξ →"],[ylabel,"ϕ →"], [legend,legends[j]],[color,colours[j]], [style, [lines,3]], same_xy,
              [gnuplot_preamble, "set xtics 1;set ytics 1;set tics font \",11\""]))$	

/* Element-Mass Matrix */
M[i] : funmake('matrix,makelist(makelist(rho*A*integrate(phi[j]*phi[k],xi,0,1)*ℓ[i],j,1,4),k,1,4));
/*       (rho*A*ℓ[i])*matrix([13/35,(11*ℓ[i])/210,9/70,-(13*ℓ[i])/420],
                             [(11*ℓ[i])/210,ℓ[i]^2/105,(13*ℓ[i])/420,-ℓ[i]^2/140],
                             [9/70,(13*ℓ[i])/420,13/35,-(11*ℓ[i])/210],
                             [-(13*ℓ[i])/420,-ℓ[i]^2/140,-(11*ℓ[i])/210,ℓ[i]^2/105])  */
/* Element-Striffness Matrix */
K[i] : funmake('matrix,makelist(makelist(EI*integrate(diff(phi[j],xi,2)/ℓ[i]^2*diff(phi[k],xi,2)/ℓ[i]^2,xi,0,1)*ℓ[i],j,1,4),k,1,4));
/*       (EI/ℓ[i]^3)*matrix([12,6*ℓ[i],-12,6*ℓ[i]],
                            [6*ℓ[i],4*ℓ[i]^2,-6*ℓ[i],2*ℓ[i]^2],
                            [-12,-6*ℓ[i],12,-6*ℓ[i]],
                            [6*ℓ[i],2*ℓ[i]^2,-6*ℓ[i],4*ℓ[i]^2])   */
</syntaxhighlight>
}}

{{MyCodeBlock|title=Maxima-Code für die Berechnung der "Rechten-Seite"
|text=
Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Spalten-Matrizen der Rechten-Seite des Gleichungssystems.
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/*Loadiung-Fucntions*/
psi: [1,
      (1-xi),
      xi,
      4*(-xi^2+xi)];

for j:1 thru length(psi) do
   plot2d(psi[j],[xi,0,1], [y,-0.1,1.1],
      [box, false], grid2d,
      [yx_ratio, 1], [axes, solid], [xtics, 0, 1, 1],
      [ytics, 0, 1, 1],
      [ylabel, simplode (["ϕ[",j,"] →"])],
      [xlabel, "ξ →"],
      [style,[lines,3,2]])$

/* convolution integrals */
for i:1 thru length(phi) do
   (print("***************************", i),
    for j:1 thru length(psi) do 
       print(integrate(phi[i]*psi[j],xi,0,1)))$
</syntaxhighlight>
}}

===Virtuelle Arbeiten===
====... der [[Sources/Lexikon/D'Alembert'sche Trägheitskraft|D'Alembert'sche Trägheitskräfte]] eines Finiten Elements====

::<math>\delta W^a = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} \varrho \; A\; \ddot{w}_i \cdot \delta w_i \; dx_i</math>

sind

::<math>\delta W^a_i=-\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\cdot \displaystyle \mathit{\varrho A \ell_i} \cdot \begin{pmatrix} 

\displaystyle\frac{13}{35} & \displaystyle\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle\frac{9}{70} & \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420}\\ \displaystyle \frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105} & \displaystyle \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140}\\\displaystyle  \frac{9}{70} &\displaystyle  \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle \frac{13}{35} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210}\\ \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\ddot{W}_{i-1}}\\ {\ddot{\Phi}_{i-1}}\\ {\ddot{W}_{i}}\\ {\ddot{\Phi}_{i}}\end{pmatrix}</math>

====... der Formänderungsenergie eines Finiten Elements====

::<math>\delta\Pi_i = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} E\,I\; w_i'' \cdot \delta w_i'' dx_i</math>

sind

::<math>\delta \Pi_i=\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\, \displaystyle \frac{\mathit{EI}}{{{\ell}_{i}^{3}}} \, \begin{pmatrix}12 & 6\, {\ell_i} & -12 & 6\, {\ell_i}\\ 6\, {\ell_i} & 4\, {\ell_i^{2}} & -6\, {\ell_i} & 2\, {\ell_i^{2}}\\ -12 & -6\, {\ell_i} & 12 & -6\, {\ell_i}\\ 6\, {\ell_i} & 2\, {\ell_i^{2}} & -6\, {\ell_i} & 4\, {\ell_i^{2}}\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix}{{W}_{i-1}}\\ {{\Phi}_{i-1}}\\ {{W}_{i}}\\ {{\Phi}_{i}}\end{pmatrix}</math>.

{{MyAttention|title=Drehrichtung der Koordinate <math>\Phi_j</math>
|text=
Die Drehung in diesem Modell ist entgegen der Rotation um die ''y''-Achse definiert.

Ein anderer Drehsinn führt zu anderen Vorzeichen in den System-Matrizen.
}}

<hr/>
'''Links'''
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'''Literature'''
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