Quelltext der Seite Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB)

Das klassische Verfahren von Ritz arbeitet mit Gleichgewichtsbeziehungen nach dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie|Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie]] und Polynom-Ansätzen über die gesamte Stab-Länge.

Wir brauchen also die allgemeinen Terme der Potentiellen Energie des Systems

::<math>U=  \Pi  - A</math>,

wobei '''''Π''''' die Formänderungsenergie ist und '''''A''''' z.B. die Arbeitsfunktion der äußeren, senkrechten Last ''F'' an der Stelle ''x=a'' ist.

Dann ist für einen [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken|Euler-Bernoulli-Balken]] unter einer äußeren Querkraft ''F'':

::<math>\begin{array}{ll} \displaystyle \Pi & = \displaystyle  \frac{1}{2} \displaystyle \int_\ell  EI\;(w'')^2 dx \\ \displaystyle A & = F\cdot w(a) \end{array}</math>.

Für den Ritz-Ansatz verwenden wir Ansätze - also Trial-Formfunktionen für die Näherung der exakten Lösung - die sich über die gesamte Balkenlänge erstrecken.

Der Ansatz ist allgemein

::<math>\tilde{w}(x) = \sum W_i\cdot \phi_i(x)</math>,

wobei die ϕ<sub>i</sub> die linear unabhängigen Formfunktionen und die ''W<sub>i</sub>'' die Wichtungsfaktoren sind, die wir so bestimmen, dass die Gesamtlösung bestmöglich die gesuchte Funktion approximiert.

Für diese wählen wir ausschließlich Polynome - die können wir bequem differenzieren und integrieren.

Die ''ϕ<sub>i</sub>'' müssen 

* alle geometrischen Randbedingungen erfüllen aber
* brauchen nicht mir den Kraft- oder Momenten-Randbedingungen kompatibel zu sein.

Bei linearen Systemen (wir betrachten nur lineare Systeme) hat ''Π'' immer die quadratische Form

::<math>\Pi = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \displaystyle \underline{W}^T \cdot \underline{\underline{A}}\cdot \underline{W}</math>

und ''A'' immer die Form

::<math>A = \displaystyle \underline{W}^T\cdot \underline{b} </math>

also

::<math>U = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \displaystyle \underline{W}^T \cdot \underline{\underline{A}}\cdot \underline{W} - \underline{W}^T\cdot \underline{b} </math>.

Die Gleichgewichtsbedingungen des Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie lauten:

::<math>\displaystyle \frac{d\,U}{d\,W_i}\stackrel{!}{=}0</math>

Das System ist im Gleichgewicht, wenn ''U'' ein Minimum hat. Die Minimum Prinzipe sagen: das ist der Fall, wenn

::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{W} = \underline{b}</math> .