Quelltext der Seite Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode





Die Methode der Finiten Elemente ist deshalb so erfolgreich, weil Sie ideal mit der Implementierung im Computer harmoniert.

Auf zwei Ansätzen basiert dieser Erfolg:
{| class="wikitable" style="border: 0px solid white; background-color:#fff;"
|+
|[[Datei:FIniteElementeMethode-Puzzel.png|50px|Passt!]]
|Die komplette Struktur wird in kleine Elemente - die Finiten Elemente - aufgeteilt. Ihre Bewegung wird durch diskrete Knoten-Koordinaten erfasst, die wie  bei einem Puzzle zusammenpassen. Alles, was im Element-Inneren "passiert", wird durch die Knoten-Koordinaten erfasst.
Die Beschreibung der Struktur wird also komplett auf diese Koordinaten-Koordinaten reduziert.
|-
|[[Datei:FiniteElementeMethode-Plus.png|50px|Plus!]]
|Der Beitag jedes elastischen Elements wird additiv zum Gesamtsystem hinzugefügt. Diese Einzel-Beträge heißen Element-Steifigkeitsmatrix.
Schnittbilder und Schnittlasten brauchen wir nicht dafür!
|}

=Einführungsbeispiel=
Wie das geht, zeige ich Ihnen - zuerst ohne Theorie - für ein Beispiel:

<table>
<tr><td>[[Datei:FiniteElementeMethode-Stabwerk.png|150px|mini|Stabwerk]]
</td><td>Ein Stabwerk aus drei elastischen Stäben und einer Feder wird durch eine Einzelkraft ''F'' belastet. Alle Stäbe haben die Dehnsteifigkeit ''EA'', die Federsteifigkeit ist ''k''.</td></tr>
</table>

Gegeben sind ''a, EA, k, F'', gesucht sind die Verschiebungen der Knotenpunkte.

Die Lösung mit der Methode der Finiten Elemente zeige ich Ihnen aus drei Perspektiven:

<ol type="A">
<li>das Prozess-Schema</li>
<li>die Lehrbuch-Sichweise und</li>
<li>die Implementierung in einem Algorithmus (hier [[Sources/Lexikon/Maxima|Maxima]]).</li>
</ol>

Das Modell für ein lineares Modell mit Finiten Elemente ist ein System linearer Gleichungen. In jeder Spalte steht die Gleichgewichtsbedingung für eine Koordinate ''Q<sub>i</sub>'', in den Spalten stehen die Koeffizienten der Koordinaten ''Q<sub>j</sub>''. Das Gleichungssystem sieht immer so aus:

::<math>\underline{\underline{K}}\cdot\underline{Q} = \underline{P}</math>

Wir benennen Stäbe und Knoten, ein Koordinatensystem brauchen wir auch:
[[Datei:FiniteElementeMethode-StabwerkMitBezeichnugen.png|left|150px|mini|Benennung von Stäben und Knoten.]]

Das Stabwerk besteht aus vier elastischen Bauteilen:

* den Stäben 1,2 und 3 sowie
* der Feder.

Und jedes dieser elastischen Bauteil hinterlässt eine Spur in der Steifigkeitsmatrix ''<u>K</u>''.

Die Verformung der Stäbe erfassen wir durch die Verschiebung der Endpunkte - der Knoten - des Stabwerks. Wie das geht und wir wir daraus eine Element-Steifigkeitsmatrix für einen Dehnstab bekommen, steht in [[Gelöste Aufgaben/T312|T312]]. Die Knoten-Verschiebungen schreiben wir in ''Q'' hinein, hier für drei Knoten die Verschiebungen jeweils ''u'' in ''x-'' und ''v'' in ''y-''Richtung

== A. Das Prozess-Schema ==
Das Gesamt-Gleichungssystem komponieren wir, indem die Element-Steifigkeitsmatrizen je Bauteil nach einem festen Schema in ''K'' hineinkopiert werden:

[[Datei:FiniteElementeMethode-PreviewVideo.png|verweis=Datei:BVP-FEM.mp4|alternativtext=|links|mini|250x250px|Prozessschema FEM]]<br clear="all"/>

Es bleibt noch, die Randbedingungen in das System einzuarbeiten: das machen wir durch Streichen der Zeilen und Spalten des Gleichungssystems, die zu Koordinaten gehören, die aufgrund der Lagerung des Systems behindert sind:

[[Datei:FiniteElementeMethode-Randbedingungen.png|left|mini|Randbedingungen einarbeiten.]]<br clear="all/>

Wie dieser Prozess in einem "Lehrbuch" der Mechanik / Mathematik und in einer Implementierung im Computer aussieht folgt hier in der linken bzw. rechten Spalte:

<table style="width:100%">
<tr><td style="width:50%">
<h2>B: Die Lehrbuch-Sichtweise</h2>
</td><td style="width:50%">
<h2>C: Die Implementierung in MAXIMA</h2>
</td></tr>
</table>

{{Vorlage:MyCodeBlock|title=Header|text=
Für diese Aufgabe nutzen wir Ergenisse aus [[Gelöste Aufgaben/T312|T312]].

In diesem Beispiel sind die gesuchten Größen die Verschiebungen der drei Knoten in x- und y-Richtung, also:

::<math>\underline{Q} = \left(\begin{array}{l}u_{I}\\v_{I}\\u_{II}\\v_{II}\\u_{III}\\v_{III}\\\end{array}\right)</math>
|code=
<syntaxhighlight lang="notmuch" line='line' style="border:1px solid blue">
/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2018-05-30                            */
/* ref: FEM                                            */
/* description: Berechnung der Knoten-Verscheibungen   */
/*              eines elastischen Stabwerks            */
/*              - gehört zu Aufgabe T312               */
/*******************************************************/
 
/* coordiates in K*Q=P */
Q: transpose(matrix(flatten(makelist([u[i],v[i]],i,1,length(N)))));

</syntaxhighlight>
}}

{{Vorlage:MyCodeBlock|title=System Parameter|text=
Die Knoten (Nodes) ''I, II'' und ''III'' des Fachwerks haben die Koordinaten [''x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>'']:

::<math>\begin{array}{llcc}N_1 =& [&0,&0]\\N_2 =& [&a,&a]\\N_3 =& [&a,&0]\end{array}</math>

Jeder Stab (Rod) ist ein Finites Element des Fachwerks, die drei Stabe verbinden folgende Knoten miteinander:

::<math>\begin{array}{llcc}R_1 =& [&1,&2]\\R_2 =& [&1,&3]\\R_3 =& [&2,&3]\end{array}</math>

Damit berechnen wir die Parameter [ξ''<sub>x</sub>, ξ<sub>x</sub>''] aus T312 

::<math>\begin{array}{ll}\ldots\text{ für Element 1:}&\displaystyle [\xi_x,\xi_y] = [\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}]\\\ldots\text{ für Element 2:}&\displaystyle [\xi_x,\xi_y] = [1,0]\\\ldots\text{ für Element 3:}&\displaystyle [\xi_x,\xi_y] = [0,-1]\end{array}</math>,

die wir für den nächsten Schritt brauchen:

|code=
<syntaxhighlight lang="notmuch" line='line' style="border:1px solid blue">
/* parameters */
assume(a>0);
 
/* nodal coordinates */
N : [[0, 0],
     [a, a],
     [a, 0]];
/* rod-connectivity */
R : [[1,2],
     [1,3],
     [2,3]];
dims: [length(N),length(R)];


/* compute elements of Element-Stiffness Matrix */
/* Δx / Δy */
d : makelist(N[R[i][2]]-N[R[i][1]],i,1,length(R));
/* reference-lengths */
l : makelist(sqrt(d[i].d[i]),i,1,length(d));
/* normalized Δx / Δy ( xi )*/
xi : makelist((N[R[i][2]]-N[R[i][1]])/l[i],
                                     i,1,length(R));
</syntaxhighlight>
}}


{{Vorlage:MyCodeBlock|title=Definition of the Element Stiffness-Matrix|text=
TEXT::<math>E</math>
|code=
<syntaxhighlight lang="notmuch" line='line' style="border:1px solid blue">

</syntaxhighlight>
}}

{{Vorlage:MyCodeBlock|title=Compose System-Matrix|text=
TEXT::<math>E</math>
|code=
<syntaxhighlight lang="notmuch" line='line' style="border:1px solid blue">

</syntaxhighlight>
}}

{{Vorlage:MyCodeBlock|title=Incorporate Boudary Conditions|text=
TEXT::<math>E</math>
|code=
<syntaxhighlight lang="notmuch" line='line' style="border:1px solid blue">

</syntaxhighlight>
}}

{{Vorlage:MyCodeBlock|title=Solution|text=
TEXT::<math>E</math>
|code=
<syntaxhighlight lang="notmuch" line='line' style="border:1px solid blue">

</syntaxhighlight>
}}

{{Vorlage:MyCodeBlock|title=Post-Processing|text=
TEXT::<math>E</math>
|code=
<syntaxhighlight lang="notmuch" line='line' style="border:1px solid blue">

</syntaxhighlight>
}}






----

[[Datei:FiniteElementeMethode-LineareTrialfunctions2DÜberlagert.png|mini|Produktansatz der Trialfunctions.]]

[[Datei:FiniteElementeMethode-Stabmodelle.png|mini|Knoten und Elemente für Stabmodelle.]]
[[Datei:FiniteElementeMethode-Plattenmodelle.png|mini|Plattenmodell]]
[[Datei:FiniteElementeMethode-Stabwerk.png|mini|Stabwerk]]
[[Datei:FiniteElementeMethode-KompositionDerSteifigkeitsmatrix.png|mini|Komposition der Steifigkeitsmatrix.]]
[[Datei:FiniteElementeMethode-Ergebnis.png|mini|Verformung des Stabwerks.]]
[[Datei:FiniteElementeMethode-TrialfunctionLinear2D.png|mini|Produktansatz mit linearen Trialfunctions.]]




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