Quelltext der Seite Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Differenzen Verfahren (EBB)

Das Differenzenverfahren ersetzt die Bewegungsgleichung des Euler-Bernoulli-Balkens im Gebiet (die Differentialgleichung) durch den Differenzenquotienten.

Also wird aus

::<math>\frac{d\,w}{d\,x}|_{x=x_i}=\frac{\mathrm{w}\left(x_i+\mathit{\Delta x}\right) -\mathrm{w}\left( x_i\right) }{\mathit{\Delta x}}</math>

mit endlich großem ''Δx''. Wir wählen

::<math>x_{i+1}=x_i + \Delta\,x</math>,

so dass wir die erste Ableitung der Funktion ''w(x)'' an ''N'' Stellen ''x<sub>i</sub>'' bequem durch ''N+1'' viele Stützstellen ''W<sub>i</sub> := w(x<sub>i</sub>)'' berechnen können.

Wie klappt das für die vierte Ableitung in<blockquote><blockquote><math>EI \cdot w^{IV} = q</math>?

{|
!style="align:left"|Maxima
!
|-
|style="width:50%; vertical-align:top;"|Indem wir die vierte Ableitung eines Polynoms, das durch benachbarte Punkte der Stützstellen verläuft, bestimmen und dies als vierten Ableitung der gesuchten Funktion verwenden.

Wir erfassen Ableitungen der gesuchten Verschiebung durch Linearkombinationen der Stützstellen.

Dazu brauchen wir mindestens ein Polynom 4ter Ordnung, damit wir es vier mal ableiten können, ohne dass es  dabei verschwindet (Null wird). Wir wählen also 5 äquidistante Stützstellen um xi herum und sampeln die ''x''-Koordinate ''ξ'', die unbekannte Auslenkung Wj und den Wert der bekannten Streckenlast ''q<sub>j</sub>'':

::<math>[-2\cdot \Delta x]</math>

Das Polynom 4ter Ordnung dazu ist

::<math>p={{C}_{4}}\cdot {{x}^{4}}+{{C}_{3}}\cdot {{x}^{3}}+{{C}_{2}}\cdot {{x}^{2}}+{{C}_{1}}\cdot x+{{C}_{0}}</math>

und dessen vierte Ableitung

::<math>\begin{array}{rl}\kappa=&\displaystyle  \frac{d^4\,p}{d\,x^4}\\=&4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \cdot C_4\\ = &\displaystyle \frac{{{W}_{i-2}}-4\cdot {{W}_{i-1}}+6\cdot {{W}_{i}}-4\cdot {{W}_{i+1}}+{{W}_{i+2}}}{{{\mathit{Δx}}^{4}}}\end{array}</math>,

wobei wir die ''C<sub>i</sub>'' aus der Anpassung an die Stützstellen erhalten. Wie das im Detail geht, steht in [[Gelöste Aufgaben/Kit6|Kit6]].
|style="vertical-align:top" class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"| <syntaxhighlight lang="notmuch" line='line' style="border:1px solid blue">
/* Maxima Sourcecode */
declare("Δx", alphabetic);
dgl: 'diff(w,x,4)=q/EI;
/*samples */
S : makelist([x[0]+j*Δx,W[i+j]],j,-2,2);
/* polynom */		
p : sum(C[j]*x^j,j,0,4);
/* equations */		
equs : makelist(subst([x=S[j][1]],p)=S[j][2],j,1,5);
/* unknown coefficients */
coef : makelist(C[j],j,0,4);
/* solution */
sol : linsolve(equs,coef);
/* 4th derivative*/
kappa : diff(p,x,4);
kappa : subst(sol,kappa);
		
print(dgl," -> ", subst(['diff(w,x,4)=kappa],dgl));
ole : Δx^4*subst(['diff(w,x,4)=kappa],dgl);
</syntaxhighlight>
|}



Die vierte Ableitung κ des Polynoms ''p'' setzen wir nun anstelle der Ableitung in unserer Differentialbeziehung an, aus unserer Biege-Differentialgleichung wird die Biege-Differenzenbeziehung

Für jede Stützstelle ''W<sub>i</sub>'' im Gebiet muss nun diese gewöhnliche, lineare Gleichung erfüllt sein, so dass ein Gleichungssystem für die ''W<sub>i</sub>'' zunächst so aussieht:

,

allgemein mit der Systemmatrix ''A'', den Unbekannten ''W'' und der rechten Seite ''b''

Sie sehen sofort: das geht an den Rändern schief:

* an der Stelle x=0 gibt es "links" neben ''W<sub>0</sub>'' keine Stützstellen ''W<sub>0-1</sub>'', ''W<sub>0-2</sub>'' mehr - genauso fehlen am "rechten" zwei Stützstellen.

Und

* uns fehlen noch die Randbedingungen in der Formulierung des Problems! 

Wir lösen beide Probleme pragmatisch: wir erweitern die Anzahl der Gleichungen in ''A'' und gesuchten Größen ''W'' an jedem Rand um zwei - also um vier. Diese vier zusätzlichen Gleichungen nutzen wir nun zur Einarbeitung unserer Randbedingungen.

Wir schreiben nun alle Rand- und Übergangs-Bedingungen für die Biegelinie ''w(x)'' auf die Stützstellen ''W<sub>j</sub>'' und ''q<sub>j</sub>'' um:








[[Datei:FiniteDifferenzenVerfahren-Lasten.png|ohne|mini|Streckenlast und äußere Lasten im kontinuierlichen Fall um den Knoten ''I'' herum.]]
[[Datei:FiniteDifferenzenVerfahren-Ersatzsystem.png|ohne|mini|Streckenlast und äußere Lasten im Fall von endlichen Differenzen um den Knoten ''I'' herum.]]